Вероятностное пространство описывается как тройка объектов
Вероятностное пространство
$\Omega$ - непустое пространство событий $\omega$.
$\mathcal{A}$ - сигма-алгебра событий подмножеств $\Omega$.
При этом $\Omega$ без $\mathcal{A}$ существовать может вполне.
А вот $\mathcal{A}$ существует только тогда, когда определено $\Omega$. Иногда говорят о двойке объектов $(\Omega, \mathcal{A})$ - измеримое пространство.
Самая простая $\mathcal{A}$ состоит всего лишь из двух элементов: $\{\varnothing, \Omega\}$.
$\mathbb{P}$ - сигма-аддитивная мера или функция, действующая из $\mathcal{A}$ в $[0;1]$, определенная на двойке $(\Omega, \mathcal{A})$ с дополнительным свойством
$$
\mathbb{P}(\Omega) = 1.
$$
Также могут быть определены другие сигма-аддитивные меры $\mu$ на пространстве $(\Omega, \mathcal{A})$, но без условия $\mu(\Omega) = 1$
Двойка $(\Omega, \mathcal{A})$ может существовать без $\mathbb{P}$, а вот $\mathbb{P}$ должно быть обязательно определено на каком-то пространстве $(\Omega, \mathcal{A})$. То есть мера вероятности существует тогда, когда определено пространство. На одном и том же пространстве могут быть определены сколько угодно вероятностных мер.
Борелевская сигма-алгебра $\mathcal{B}$, определенная на прямой $(-\infty;+\infty)$ - это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые интервалы этого пространства.
Эта сигма-алгебра устроена достаточно просто: это объединение счетного числа точек, открытых и закрытых слева и/или справа отрезков, а также всех открытых и закрытых полуинтервалов (неограниченные слева или справа).
Двойку множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ c борелевской сигма-алгеброй $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ рассматривают как измеримое пространство.
Борелевская сигма-алгебра может быть определена и на каком-то конечном отрезке, допустим $[0;1]$. Тогда она содержит объединение счетного числа точек, открытых и закрытых слева и/или справа отрезков, которые находятся внутри отрезка $[0;1]$.
Казалось бы, эта сигма-алгебра покрывает все возможные случаи подмножеств множества $[0;1]$, допустим. Однако, это не так. Неборелевским множеством, допустим, является множество точек, разница которых есть рациональные числа. Поэтому в теории вероятностей, чтобы не рассматривать такие дурацкие случаи, всегда указывают, что мы рассматриваем только борелевские множества.
Случайная величина $\xi$ - это функция, действующая из $\Omega$ в множество действительных чисел $\mathbb{R}$. При этом она должна быть измерима относительно $\mathcal{A}$, то есть обратная функция, действующая из $\mathbb{R}$ в $\Omega$ от всех борелевских множеств должна принадлежать $\mathcal{A}$:
$$
\{\omega :\xi(\omega)\in B\}\equiv\xi^{-1}(B)\in\mathcal{A}
$$
для всех борелевских $B$, определенных на $(-\infty;+\infty)$. В теории вероятностей всегда рассматривают измеримые относительно какого-то измеримого пространства функции.
Кстати, вероятностная функция $\mathbb{P}$ тоже измерима относительно двойки $(\Omega, \mathcal{A})$ и может также рассматриваться как случайная величина.
Вопрос на засыпку: может ли случайная величина существовать без вероятностной меры?
Правильный ответ - да. В определении случайной величины нет указания на вероятностное пространство. Поэтому и может.
Однако, случайная величина без вероятностной меры в теории вероятностей не интересна, поэтому и рассматривают распределение случайной величины в связке с вероятностной мерой:
$$
P_\xi(B) = \mathbb{P}\{\omega: \xi(\omega)\in B\}, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).
$$
Это определение распределения случайной величины $\xi$ на $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.
Функцией распределения случайной величины $\xi$ является функция $\mathbb{R}\to[0;1]$
$$
F_\xi(x)=\mathbb{P}\{\omega:\xi(\omega)\lt x\}, x\in\mathbb{R}.
$$
Функция распределения существует всегда.
Это что касается одномерных борелевских сигма-алгебр, множества вещественных чисел, случайных величин. Но это может быть перенесено достаточно просто на двумерные, $n$-мерные и даже бесконечномерные аналогичные понятия.
Вероятностное пространство
$\Omega$ - непустое пространство событий $\omega$.
$\mathcal{A}$ - сигма-алгебра событий подмножеств $\Omega$.
При этом $\Omega$ без $\mathcal{A}$ существовать может вполне.
А вот $\mathcal{A}$ существует только тогда, когда определено $\Omega$. Иногда говорят о двойке объектов $(\Omega, \mathcal{A})$ - измеримое пространство.
Самая простая $\mathcal{A}$ состоит всего лишь из двух элементов: $\{\varnothing, \Omega\}$.
$\mathbb{P}$ - сигма-аддитивная мера или функция, действующая из $\mathcal{A}$ в $[0;1]$, определенная на двойке $(\Omega, \mathcal{A})$ с дополнительным свойством
$$
\mathbb{P}(\Omega) = 1.
$$
Также могут быть определены другие сигма-аддитивные меры $\mu$ на пространстве $(\Omega, \mathcal{A})$, но без условия $\mu(\Omega) = 1$
Двойка $(\Omega, \mathcal{A})$ может существовать без $\mathbb{P}$, а вот $\mathbb{P}$ должно быть обязательно определено на каком-то пространстве $(\Omega, \mathcal{A})$. То есть мера вероятности существует тогда, когда определено пространство. На одном и том же пространстве могут быть определены сколько угодно вероятностных мер.
Борелевская сигма-алгебра $\mathcal{B}$, определенная на прямой $(-\infty;+\infty)$ - это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые интервалы этого пространства.
Эта сигма-алгебра устроена достаточно просто: это объединение счетного числа точек, открытых и закрытых слева и/или справа отрезков, а также всех открытых и закрытых полуинтервалов (неограниченные слева или справа).
Двойку множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ c борелевской сигма-алгеброй $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ рассматривают как измеримое пространство.
Борелевская сигма-алгебра может быть определена и на каком-то конечном отрезке, допустим $[0;1]$. Тогда она содержит объединение счетного числа точек, открытых и закрытых слева и/или справа отрезков, которые находятся внутри отрезка $[0;1]$.
Казалось бы, эта сигма-алгебра покрывает все возможные случаи подмножеств множества $[0;1]$, допустим. Однако, это не так. Неборелевским множеством, допустим, является множество точек, разница которых есть рациональные числа. Поэтому в теории вероятностей, чтобы не рассматривать такие дурацкие случаи, всегда указывают, что мы рассматриваем только борелевские множества.
Случайная величина $\xi$ - это функция, действующая из $\Omega$ в множество действительных чисел $\mathbb{R}$. При этом она должна быть измерима относительно $\mathcal{A}$, то есть обратная функция, действующая из $\mathbb{R}$ в $\Omega$ от всех борелевских множеств должна принадлежать $\mathcal{A}$:
$$
\{\omega :\xi(\omega)\in B\}\equiv\xi^{-1}(B)\in\mathcal{A}
$$
для всех борелевских $B$, определенных на $(-\infty;+\infty)$. В теории вероятностей всегда рассматривают измеримые относительно какого-то измеримого пространства функции.
Кстати, вероятностная функция $\mathbb{P}$ тоже измерима относительно двойки $(\Omega, \mathcal{A})$ и может также рассматриваться как случайная величина.
Вопрос на засыпку: может ли случайная величина существовать без вероятностной меры?
Правильный ответ - да. В определении случайной величины нет указания на вероятностное пространство. Поэтому и может.
Однако, случайная величина без вероятностной меры в теории вероятностей не интересна, поэтому и рассматривают распределение случайной величины в связке с вероятностной мерой:
$$
P_\xi(B) = \mathbb{P}\{\omega: \xi(\omega)\in B\}, B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).
$$
Это определение распределения случайной величины $\xi$ на $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.
Функцией распределения случайной величины $\xi$ является функция $\mathbb{R}\to[0;1]$
$$
F_\xi(x)=\mathbb{P}\{\omega:\xi(\omega)\lt x\}, x\in\mathbb{R}.
$$
Функция распределения существует всегда.
Это что касается одномерных борелевских сигма-алгебр, множества вещественных чисел, случайных величин. Но это может быть перенесено достаточно просто на двумерные, $n$-мерные и даже бесконечномерные аналогичные понятия.
Комментариев нет:
Отправить комментарий